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この下に続くおもしろ算数問題の中から
あなたのお気に入りの問題がひとつでも見つかるといいですね
自分の頭で考える喜びを味わってみてください
解けた瞬間の感動の喜びをあなたも味わってみて〜〜それでは、ごゆっくりどうぞ
毎年、たくさんの良問を出題してくれる灘中の先生に感謝します。ありがとうございます。
灘中学 入試問題 ２０２２年度 （ 令和４年度 ）入試 算数１日目 ４番 整数 余り 合同式 2の累乗（べき乗） ２を１０個かけてできる数 ２×２×２×２×２×２×２×２×２×２を １７で割った余りは □ です。 また、２を２０２２個かけてできる数 ２×・・・・・・・・・×２を １７で割った余りは □ です。 解き方 前半 １×２×２＝４ 後半 １７ー２×２＝１３ 答えはすぐに出せると思いますが、 答えにいたる途中過程を工夫すると あなただけのオリジナルな計算方法が発見されることもあり ほかの問題にもその同じ計算方法が使えて どんどん楽しくなりますよ 答え 順に ４ １３ |
灘中学 入試問題 ２０２２年度 （ 令和４年度 ）入試 算数１日目 ５番 整数 場合の数 偶奇性 式の扱い 分配法則 余事象 A、B、C、Dは１以上１０以下の整数です。 A、B、C、Dの中に同じ整数が含まれていてもよいものとします。 A×B＋A×C＋A×D＋B×C×Dが偶数となるような A、B、C、Dの組は全部で □ 組あります。 解き方 A、B、C、D の偶数、奇数で場合分けする １０４ ― （５×５３＋５×５３×３）＝７５００ 答えはすぐに出せると思いますが、 答えにいたる途中過程を工夫すると あなただけのオリジナルな計算方法が発見されることもあり ほかの問題にもその同じ計算方法が使えて どんどん楽しくなりますよ 答え ７５００ |
灘中学 入試問題 ２０２２年度 （ 令和４年度 ）入試 算数１日目 １番 計算 逆算 通分 方程式 分数 素因数分解  解き方 ７２６＝１２１×６ ７２６＝２２×３３ ７２６＝３×２４２ （□＋３３）×５＝４×（２４２―４２） □＝４×２００÷５−３３＝１２７ １２７は素数です 答え １２７ |
灘中学 入試問題 ２０２２年度 （ 令和４年度 ）入試 算数１日目 ３番 食塩水 濃度 てんびん算 逆比 濃度が □ ％の食塩水が □ g 入っている容器に、 濃度が１.９％の食塩水１００ｇを加えてよくかき混ぜると、 濃度が３.１％になりました。 そのあとに食塩１０ｇを加えてよくかき混ぜると、 濃度が５％になりました。 解き方 てんびん図をかく （１００−５）×１０÷（５−３．１）＝５００ ５００−１００＝４００ ３．１＋（３．１−１．９）÷４＝３．４ 答え 順に ３．４ ４００ |
灘中学 入試問題 ２０２２年度 （ 令和４年度 ）入試 算数１日目 ２番 式の扱い 方程式 整数 仕事算 比 逆比 ある仕事に兄と弟が取り組みます。 兄は３０分働くごとに５分休むことを繰り返します。 弟は働き始めると休まずに働き続けます。 兄が働き始め、その９５分後に弟も一緒に働き始めると、 兄が働き始めてから１３５分後にこの仕事が終わります。 また、弟が働き始め、その９０分後に兄も一緒に働き始めると、 弟が働き始めてから、１４０分後にこの仕事が終わります。 この仕事を弟だけで終わらせるには □ 分かかります。 解き方 [ 30 ]×４＋＜４０＞＝＜１４０＞＋[ 30 ]＋[ １５ ] [ ７５ ]＝＜１００＞ [ ３ ]＝＜４＞ [ １２０ ]＋＜４０＞＝＜１６０＞＋＜４０＞＝＜２００＞ 答え ２００ |
２０２２年度 灘高校 数学 ４番 確率 場合の数 場合分け A，P，Sの３種類の文字から無作為に１文字を選ぶことを繰り返し行い、 選んだ文字を選んだ順番に左から右に向かって１列に並べていく。 （１） 文字を６個並べたとき、 「PASS」という連続した文字の並びが含まれる確率を求めよ。 （２） 文字を９個並べたとき、 「PASS」という連続した文字の並びが含まれる確率を求めよ。 解き方 （１） PASS○○ ○PASS○ ○○PASS の３パターン （３２×３）/ ３６＝１/２７ （２） ア PASS○○○○○ イ ○PASS○○○○ ウ ○○PASS○○○ エ ○○○PASS○○ オ ○○○○PASS○ カ ○○○○○PASS PASSPASS○ がアとオ PASS○PASS がアとカ ○PASSPASS がイとカ で２回数えられていることに気をつけて （３５×６―３×３）/ ３９＝１６１/２１８７ 答えはすぐに出せると思いますが、 答えにいたる途中過程を工夫すると あなただけのオリジナルな計算方法が発見されることもあり ほかの問題にもその同じ計算方法が使えて どんどん楽しくなりますよ 答 （1） 1／２７ （２） １６１/２１８７ |
灘中学 入試問題 ２０１９年度 （ 平成３１年度 ）入試 算数１日目 ６番 倍数 大きな素数 試行錯誤 実験 ８９の倍数と１１３の倍数を、 ８９，１１３，１７８，２２６，・・・・・・・・ のように小さいものから順に並べるとき、 ５０番目の数は □ です。 解き方１ 大ざっぱ法でいきます ほとんど計算しないで答えが出せる気持ちよさ、感覚が、 あなたにも伝わればうれしいです ８９も１１３も素数であることに注意する ８９と１１３の比は８８：１１２＝１１：１４に近いと考えます ここで１１＋１４＝２５であることに気づくとラッキーです 問題文の５０番目の５０は２５の２倍ですから、 ８８×２８と１１２×２２の掛け算の結果２４６４は出さなくても ８８の倍数の２８番目と１１２の倍数の２２番目は同じです ８８×２８＝１１２×２２です ８９×２８は８８×２８より２８大きい １１３×２２は１１２×２２より２２大きい ことに気をつければ、 ８９×２８が小さい方から５０番目だと分かります 線分図を書いてあげると理解しやすいかもです ８９×２８＝（９０−１）×２８＝２５２０−２８＝２４９２ 解き方 ２ ５０個を２５個ずつに分けてみてから、調整する ８９の倍数の２５番目と１１３の倍数の２５番目の差は ２４×２５＝６００です ６００の差を意識して ８９の倍数を３個増やし１１３の倍数を３個減らすと （８９＋１１３）×３＝６０６ よって８９×２８が５０番目と分かる ８９×２８＝（９０−１）×２８＝２５２０−２８＝２４９２ 解き方 ３ 小さい順に７個で差が１７に気づく ８９×４＝３５６ １１３×３＝３３９ 差が１７なので、これを７セット ８９×２８は１１３×２１より１１９大きいので １１３を１個追加すると ８９×２８は１１３×２２より６大きいことになる よって、８９×２８＝２４９２ 解き方 ４ 小さい順に９個で差が７に気づく ８９の倍数 89 178 267 356 445・・・・・・ １１３の倍数 113 226 339 452・・・・・・ 89 113 178 226 267 339 356 445 452 小さい順に並べると８９の倍数と１１３の倍数が交互に出てきますが、 ７番目と８番目が連続して８９の倍数が出てくる ８番目と９番目の差が２４×４−８９＝７ ８９×５＝４４５ １１３×４＝４５２ 差が７で、これを５セット １１３×２０は８９×２５より３５大きい ３５大きいことを意識して、残り５個を ８９の倍数３個、１１３の倍数２個追加すると ５０番目は８９の倍数の２８個目で １１３の倍数の２２個目より６大きくなる よって、８９×２８＝２４９２ 楽しんでいただけましたでしょうか 答え ２４９２ |
灘中学 入試問題 ２０２１年度 （ 令和３年度 ）入試 算数１日目 ３番 整数 場合の数 ２０２１の各位の数の和は２＋０＋２＋１＝５ です。 このように、各位の数の和が５である４桁の整数は、 ２０２１を含めて全部で □ 個あります。 そしてそれらの整数の中で２０２１は小さい方から数えて □ 番目です。 解き方 前半 組合せの公式を使う 解き方１ ７C3＝３５ 解き方２ ８C3―７C2＝５６―２１＝３５ 解き方３ ６C2+5C2+4C2+3C2+2C2 ＝１５＋１０＋６＋３＋１＝３５ 後半 ６C2＋３＝１８ 答え 順に ３５ １８ |
灘中学 入試問題 ２０２１年度 （ 令和３年度 ）入試 算数１日目 ５番 整数 平方数を１５で割った余り 合同式 Aは２桁の整数で、A×Aを１５で割ると１余ります。 このようなAは全部で □ 個あります。 解き方 １００＝１５×６＋１０ （４×６−２）＋２＝２４ 答え ２４ |
灘中学 入試問題 ２０２１年度 （ 令和３年度 ）入試 算数１日目 ７番 整数 場合の数 ７の倍数 Xは３桁の整数で、どの２つの位の数も異なります。 Xを７倍すると４桁の整数ABCDを作ることができ、 A＞B、 B＞C、 C＞D、 D＞０となりました。 このとき、Xは □ です。 解き方 ４３２１以上６５４３以下で調べる ４３２１以上５０００未満 １個 ５０００以上６０００未満 ４個 ６０００以上６５４３以下 １０個 を調べます 答え ９０３ |
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灘中学 入試問題 ２０１６年度 （ 平成２８年度 ）入試 算数１日目 ５番 オイラーの関数 素数 互いに素 １０００以下の整数のうち、２でも３でも５でも割り切れない整数を 小さいものから順に並べると １，７，１１，１３，１７，・・・・・・・，９９７ となります。 このなかで、一の位の数が７である整数は全部で□個あります。 また、７で割り切れる整数は全部で□個あります。 解き方 素数の楽しさを味わえる問題です 問題文の中に１０以下の素数２，３，５，７が全て出てきています ２，３，５の最小公倍数は３０ですから、１から３０までの整数のなかで ２でも３でも５でも割り切れない整数を 書き出していきます でもここで、問題文のなかに １，７，１１，１３，１７というように１７までは書いてくれています ここで灘の算数の問題は分かる人だけに分かるヒントが 問題文の中や例の中に隠されています 別に１，７，１１，１３，・・・・・・・，９９７というふうに問題分を書いても、 １，７，１１，・・・・・・・，９９７と書いてもいいと思いませんか？ それなのにどうして１，７，１１，１３，１７というように１７まで 書いてあるのでしょう？ そのあと全部２，３，５で割り切れないことをチェックしていってもいいのですが、 １３+１７＝３０が使えることを知っている人だけに ちょっとでも有利になるように１７まで書いてくれていると思います。 そこまで算数を楽しんでいる人を 灘が求めているのではないでしょうか？ ここで灘中に上位合格する人たちが知っていることを 書いておきます ワンポイントアドバイス １３＋１７で３０ですね あとは３０−１１で１９ ３０−７で２３ ３０−１で２９となります（説明略） だからいっきに １，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９と書き出せます あとは３０ごとに繰り返します  ３０までに一の位が７であるのは２つあります １０００÷３０＝３３・・・10 ２×３３+１＝６７ 灘中に上位合格する人たちは上の数表すべて書き出していません 前半の問題を解くのに 実際の試験上で計算用紙に書き出しているのは 最初の一行（１，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９）で十分です ３０ずつ繰り返すので、書かなくていいことが頭のなかでわかっています ３０ずつ繰り返すことを意味も分からず、ただ覚えるのではなく、 理由を考えてみましょう。そうすると、 最初の一行で十分であることが理解できますね 最小公倍数のすごさ、素数のすごさ、繰り返すことのすごさを 感じられるのではないでしょうか つぎに後半の解き方ですが ３０と７の最小公倍数は２１０ですので、 ２１０までのなかで７で割り切れる整数をみつけます 上の表の赤枠の中で７の倍数は何個ありますか？ これから受験の方は時間を計ってやってみましょう この作業がわりと時間がかかりますし、 計算ミスの可能性もありますね。 １００までの７の倍数は普段練習しているので すぐに判定できると思います １００超えてからの７の倍数判定が時間がかかると思います 赤枠の中の４行目９１を見つけてほっとしませんでしたか？ これは一行に一つ７の倍数があるからあとは簡単と思ったら落とし穴に はまってしまいます １１９も７の倍数ですよ  １１９が７の倍数であることを見つけても １２１から２０９までの２４個の整数全部を７で割るのはしんどいですよね？ ここで違う思考回路を紹介します 使っている方も多いと思いますが １１９が７の倍数とわかったら、そのことを活用するのです ７の倍数に７を足しても７の倍数ですね 頭のなかで１２６は表にないな 次は１３３これは表にある １４０，１４７，１５４・・・・・・・という感じでやる方法です 時間がたっぷりあるときはもちろんどんな方法でもいいです これで赤枠の中に７の倍数が８個あることがわかりました １０００÷２１０＝４・・・１６０ 赤枠の中で１６０までの７の倍数は６個だから ８×４＋６＝３８ これで答えは出ましたが、何か気づきませんでしたか？ 赤枠をよ〜く見てください 今度は縦に数字を見ていってください どの列にも７の倍数が１つずつありますね これは偶然ではないんですよ 理由がわかったらおそらく感動するかも 縦に見ていくということは３０ずつ足していってますね ３０を足すということは ３０÷７＝４・・・２ ７で割った余りが２ですから 縦に２を加えていくと７で割った余りになります ということは、赤枠の中全部を７で割る必要がなくなります 最初の一行目（１，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９）の整数を ７で割って余りを書き、縦に２を加えていく方法で ０になるところが、７の倍数です  この方法だと大きな数を７で割るという作業をしていませんね だから後半の問題を速く正確に解けますね 問題を解くこととは関係ありませんが 表をよく眺めていると 赤枠の中のど真ん中を点対称の中心として 対応するところを足すと７で割り切れるようになっています  もう一度上の表を見ると、  これってすごくないですか？ 数の性質って美しいですね ここまで読んでくれたあなたに 最後に後半の問題を表を書き出さずに、 最初の一行（１，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９）だけで解く方法を 紹介しておきます  この８つの数をそれぞれ７倍してみてください そして、先程の上の表を見てください 先程がんばって探した７の倍数すべて （赤枠の中の青丸で囲んだ数）が 最初の一行（１，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９）の７倍に なっていませんか？ あまりの美しさに見惚れてしまいます ということは、本当に深く理解していたら、 最小公倍数２１０までに７の倍数が８個あることと １０００÷２１０＝４・・・１６０ １６０÷７＝２２・・・6 最初の一行をみて、２２までだから １，７，１１，１３，１７，１９の６個 ８×４＋６＝３８ 楽しんでいただけましたでしょうか 答え 順に ６７ ３８ |
算数の受験者平均が１日目も２日目も５０％以下だった
２００９年灘中学算数入試問題はコチラ → ■２００９年灘中学算数入試問題
灘中学 入試問題 ２０１９年度 （ 平成３１年度 ）入試 算数１日目 ４番 合同式 素数 素因数分解 約数 余り A＝３７７×３７７×３７７×３７７×３７７×３７７ とするとき、 Aの約数の中で１４で割ると１余るものは、 １を含めて全部で □ 個あります。 また、Aの約数の中で１５で割ると１余るものは、 １を含めて全部で □ 個あります。 解き方 素因数分解をする 前半 ３７７＝１３×２９ ここで１３と２９はどちらも素数です A＝３７７×３７７×３７７×３７７×３７７×３７７ ＝１３×１３×１３×１３×１３×１３ ×２９×２９×２９×２９×２９×２９ ＝１３６×２９６ １３×１３は１４で割ると１余る ２９は１４で割ると１余ることを使って ４×７＝２８ 後半 １３×１３×１３×１３は１５で割ると１余る ２９×２９は１５で割ると１余る ２×４＝８ 答え 順に ２８ ８ |
灘高校入試問題 ２００９年（平成２１年） 数学３番 場合の数 整数 平均 ３の倍数 ↑↑↑灘中受験予定の小学４，５，６年生は（３）までやって自信をつけよう〜〜 |
灘中学 入試問題 ２０１９年度 （ 平成３１年度 ）入試 算数１日目 ３番 足し算 虫食い算 場合の数 A，B，C，D，E，F，G，Hはどの２つも異なる２から９までの数字です。 ３桁の整数ABCとDEFを足すと４桁の整数１０GHになり、 この足し算でくり上がりは百の位から千の位にだけあるとき、 GとHの和は □ です。さらにこのとき、AがDより大きいとすると、 ABCとして考えられる３桁の整数は全部で □ 個あります。 答え 順に １７ １６ |
灘中学 入試問題 ２０１９年度 （ 平成３１年度 ）入試 算数１日目 ５番 損益売買算 ある品物を仕入れ、利益を見込んで１個４００円で売りました。 しかし、いくつか売れ残ったため、 売値を半額の２００円にして残りをすべて売りました。 その結果、売上高は２６０００円、利益は１１６００円になりました。 品物１個の仕入れ値は１円未満の端数はありません。 また、４００円で売れた品物の個数は 仕入れた品物の個数全体の６割より多く、 ７割より少ないことがわかっています。 このとき、品物１個の仕入れ値は □ 円で、 ４００円で売れた品物の個数は □ 個 です。 答え 順に １８０ ５０ |
２０１７（ 素数 ）年中学入試予想問題はコチラ →２０１７年中学入試予想問題
算数の受験者平均が１日目も２日目も５０％以下だった
２００９年灘中学算数入試問題はコチラ → ■２００９年灘中学算数入試問題
灘中学 入試問題 ２０１６年度 （ 平成２８年度 ）入試 算数１日目 １番 計算問題 ２０１６の約数  ２０１６の約数は36個ありますよ  1 2 3 4 6 7 8 9 12 14 16 18 21 24 28 32 36 42 48 56 63 72 84 96 112 126 144 168 224 252 288 336 504 672 1008 2016 分母に出てくる７，９，３２，２２４，６３がすべて２０１６の約数になっています ２０１６＝６３×３２を覚えていたら安心です ２２４は覚えていなくても、暗算で９をかけて２０１６になるかを 慎重にチェックしておきます または暗算で２２４は７で割ると３２になることがわかりますから、 ２０１６の約数であることがわかります 方法１ １/７＝２８８/２０１６ １/９＝２２４/２０１６ １/３２＝６３/２０１６ １/２２４＝９/２０１６ ２/６３＝６４/２０１６ と分母を２０１６に合わせてやっていき １／□＝５６/２０１６となり約分して□が３６と分かる 方法２ 式全体を見て １/７−１/９＝２/６３であるから ４/６３−１/３２−１/２２４ここで通分する （１２８−６３−９）／２０１６＝１／３６ 答え ３６ |
灘中学 入試問題 ２０１６年度 （ 平成２８年度 ）入試 算数１日目 ２番 水問題 解説のみ ７ｃｍと９ｃｍから 水の量を＜６３＞とする四角柱２本の底面積が＜２＞ 水槽の底面積が＜１２＞となるので、 ＜６３＞÷＜１２＞＝５．２５ｃｍ 答え ５．２５ |
灘中学 入試問題 ２０１６年度 （ 平成２８年度 ）入試 算数１日目 ３番 カード交換 解説のみ 実際に文章を読んでやってみましょう 算数パズルを解いている楽しい感覚が味わえます 宮本算数教室の賢くなるパズルや 数独のマス目に数字が埋まっていく感覚を思い出しました  答え あ ６ い ９ う ４ |
灘中学 入試問題 ２０１６年度 （ 平成２８年度 ）入試 算数１日目 ４番 速さ A君とB君が円形のジョギングコースを同じ向きに走りました。 A君とB君は地点Pを同時にスタートし、その９分後に、 A君はちょうど６周、B君はちょうど４周して同時に地点Pを通過しました。 この間、A君は毎分２００ｍの速さで走りました。 B君は、初めの３０秒間は毎分２００ｍの速さで走りました。 その後、B君は、A君に追いつかれるごとに、 追いつかれてから３０秒間だけは毎分２００ｍの速さで走りましたが、 それ以外の時間は一定の速さで走りました。 その一定の速さは、最も速くて毎分□ｍ、最も遅くて毎分□ｍです。 題意が分かればそんなに難しくないと思います 自分でやってみましょう はやとちりすると、２問とも間違ってしまうある意味こわい問題 １０００÷８＝１２５ ９００÷７．５＝１２０ 答え 順に １２５ １２０ |
灘中学 入試問題 ２０１６年度 （ 平成２８年度 ）入試 算数１日目 ５番 オイラーの関数 素数 互いに素 １０００以下の整数のうち、２でも３でも５でも割り切れない整数を 小さいものから順に並べると １，７，１１，１３，１７，・・・・・・・，９９７ となります。 このなかで、一の位の数が７である整数は全部で□個あります。 また、７で割り切れる整数は全部で□個あります。 素数の楽しさを味わえる問題です 問題文の中に１０以下の素数２，３，５，７が全て出てきています ２，３，５の最小公倍数は３０ですから、１から３０までの整数のなかで ２でも３でも５でも割り切れない整数を 書き出していきます でもここで、問題文のなかに １，７，１１，１３，１７というように１７までは書いてくれています ここで灘の算数の問題は分かる人だけに分かるヒントが 問題文の中や例の中に隠されています 別に１，７，１１，１３，・・・・・・・，９９７というふうに問題分を書いても、 １，７，１１，・・・・・・・，９９７と書いてもいいと思いませんか？ それなのにどうして１，７，１１，１３，１７というように１７まで 書いてあるのでしょう？ そのあと全部２，３，５で割り切れないことをチェックしていってもいいのですが、 １３+１７＝３０が使えることを知っている人だけに ちょっとでも有利になるように１７まで書いてくれていると思います。 そこまで算数を楽しんでいる人を 灘が求めているのではないでしょうか？ ここで灘中に上位合格する人たちが知っていることを 書いておきます ワンポイントアドバイス １３＋１７で３０ですね あとは３０−１１で１９ ３０−７で２３ ３０−１で２９となります（説明略） だからいっきに １，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９と書き出せます あとは３０ごとに繰り返します ３０までに一の位が７であるのは２つあります １０００÷３０＝３３・・・10 ２×３３+１＝６７ 灘中に上位合格する人たちは上の数表すべて書き出していません 前半の問題を解くのに 実際の試験上で計算用紙に書き出しているのは 最初の一行（１，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９）で十分です ３０ずつ繰り返すので、書かなくていいことが頭のなかでわかっています ３０ずつ繰り返すことを意味も分からず、ただ覚えるのではなく、 理由を考えてみましょう。そうすると、 最初の一行で十分であることが理解できますね 最小公倍数のすごさ、素数のすごさ、繰り返すことのすごさを 感じられるのではないでしょうか つぎに後半の解き方ですが ３０と７の最小公倍数は２１０ですので、 ２１０までのなかで７で割り切れる整数をみつけます 上の表の赤枠の中で７の倍数は何個ありますか？ これから受験の方は時間を計ってやってみましょう この作業がわりと時間がかかりますし、 計算ミスの可能性もありますね。 １００までの７の倍数は普段練習しているので すぐに判定できると思います １００超えてからの７の倍数判定が時間がかかると思います 赤枠の中の４行目９１を見つけてほっとしませんでしたか？ これは一行に一つ７の倍数があるからあとは簡単と思ったら落とし穴に はまってしまいます １１９も７の倍数ですよ １１９が７の倍数であることを見つけても １２１から２０９までの２４個の整数全部を７で割るのはしんどいですよね？ ここで違う思考回路を紹介します 使っている方も多いと思いますが １１９が７の倍数とわかったら、そのことを活用するのです ７の倍数に７を足しても７の倍数ですね 頭のなかで１２６は表にないな 次は１３３これは表にある １４０，１４７，１５４・・・・・・・という感じでやる方法です 時間がたっぷりあるときはもちろんどんな方法でもいいです これで赤枠の中に７の倍数が８個あることがわかりました １０００÷２１０＝４・・・１６０ 赤枠の中で１６０までの７の倍数は６個だから ８×４＋６＝３８ これで答えは出ましたが、何か気づきませんでしたか？ 赤枠をよ〜く見てください 今度は縦に数字を見ていってください どの列にも７の倍数が１つずつありますね これは偶然ではないんですよ 理由がわかったらおそらく感動するかも 縦に見ていくということは３０ずつ足していってますね ３０を足すということは ３０÷７＝４・・・２ ７で割った余りが２ですから 縦に２を加えていくと７で割った余りになります ということは、赤枠の中全部を７で割る必要がなくなります 最初の一行目（１，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９）の整数を ７で割って余りを書き、縦に２を加えていく方法で ０になるところが、７の倍数です この方法だと大きな数を７で割るという作業をしていませんね だから後半の問題を速く正確に解けますね 問題を解くこととは関係ありませんが 表をよく眺めていると 赤枠の中のど真ん中を点対称の中心として 対応するところを足すと７で割り切れるようになっています もう一度上の表を見ると、 これってすごくないですか？ 数の性質って美しいですね ここまで読んでくれたあなたに 最後に後半の問題を表を書き出さずに、 最初の一行（１，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９）だけで解く方法を 紹介しておきます この８つの数をそれぞれ７倍してみてください そして、先程の上の表を見てください 先程がんばって探した７の倍数すべて （赤枠の中の青丸で囲んだ数）が 最初の一行（１，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９）の７倍に なっていませんか？ あまりの美しさに見惚れてしまいます ということは、本当に深く理解していたら、 最小公倍数２１０までに７の倍数が８個あることと １０００÷２１０＝４・・・１６０ １６０÷７＝２２・・・6 最初の一行をみて、２２までだから １，７，１１，１３，１７，１９の６個 ８×４＋６＝３８ 楽しんでいただけましたでしょうか 答え 順に ６７ ３８ |
灘中学 入試問題 ２０１６年度 （ 平成２８年度 ）入試 算数１日目 ６番 大きな整数のかけ算 ７７７７７７７７７７×７７７７７７７７７７を計算すると２０桁の整数になります。 この２０桁の整数の上１０桁、下１０桁を取り出して、 それぞれ１０桁の整数 A, B をつくります。 このとき、A + B ＝ □ です。 ただし、例えば４桁の整数５６７８の上２桁、下２桁を取り出して、 それぞれ２桁の整数C，Dをつくると、C＝５６、D＝７８、C＋D＝１３４です。 ７が１０個あります １が９個のときの掛け算で １１１１１１１１１×１１１１１１１１１＝１２３４５６７８９８７６５４３２１ が有名ですので、知っていれば １が１０個のときの掛け算でやればいいので １１１１１１１１１１×１１１１１１１１１１＝１２３４５６７９００９８７６５４３２１ となって後は４９倍すればいいので一工夫すれば解けます いろいろな解き方がありますが、受験生目線で解いてみます ７７７７７７７７７７×７＝５４４４４４４４４３９だから ずらして１０回書く ５４４４４４４４４３９は１１桁に注意  ここまではいいのですが、普通に筆算の足し算で計算すると 出来なくはないですが、時間がかかりますし、計算ミスが出そうです 問題文をよく読んでどんなことをしているのかをイメージしてください 掛け算をして２０桁の整数の上１０桁をA、下１０桁をBとして A + Bを求めたいのです ここで下１０桁のBは上の青い枠を足し算すると ４８から始まる１１桁の整数になるので、４００００００００００（１１桁） を引いておかなければなりません 上１０桁のAは上の緑の枠を足し算して 青い枠の足し算の繰り上がりの４を足しておきます ここまで分かれば後は足し算の工夫です 青い枠と緑の枠の１行目同士を足します ４４４４４４４４３９＋５＝４４４４４４４４４４（１０桁） ２行目も同様に ４４４４４４４３９０＋５４＝４４４４４４４４４４ ９行目まではすべて ４４４４４４４４４４になります １０行目は ９０００００００００＋５４４４４４４４４３＝１４４４４４４４４４３（１１桁）  これを計算すればいいのですが、  下２行分を −４００００００００００＋４は −４４４４４４４４４４０＋４４４４４４４４４４と書き換えます この工夫に気づけばもう答えが出ていますね＾＾； 普段から足し算でも掛け算でも計算の工夫をして来たかどうかが 問われる問題です 他にも解き方がいろいろありますので自分で発見すると楽しいですよ 答え １４４４４４４４４４３ |
灘中学 入試問題 ２０１６年度 （ 平成２８年度 ）入試 算数１日目 ７番 光の反射 解説のみ よく文章を読んで試行錯誤すれば何か気づくでしょう 二等辺三角形です 範囲を求める問題に変わります 普通にやっても実験して本質をつかめばすれば解けます  79°より大きかったら、3回めのほうがOに近くなるからダメ ７９−２２×２＝３５  79°より小さかった、５回めのほうがOに近くなるからダメ ７９−２２×３＝１３ 参考） この手の反射の問題は 甲陽学院中学 １９９４年 平成６年度１日目 ５番 甲陽学院中学 １９８７年 昭和６２年１日目 ６番 などに近い問題があります 答え 順に ３５ １３ |
灘中学 入試問題 ２０１６年度 （ 平成２８年度 ）入試 算数１日目 ８番 正六角形と面積比 右の図のような正六角形 ABCDEF があり、 点 P, Q, R はそれぞれ辺 AB, BC, DEの真ん中の点です。 ２本の直線 PR, QF は点 S で交わっています。 このとき、三角形 QRS の面積は、 正六角形 ABCDEF の面積の □ 倍です。  いろいろな解き方があります 中学受験生はどんな解き方でもいいので 答えを合わせないと、、、 方法１  三角形 QRS ： 正六角形 ABCDEF ＝ 三角形 QRS ： 正三角形 ABT × ６ ＝ ３×３ ： ２×７×（２／３）×６ ＝ ９ ：５６ 方法２ 四角形 QRFT は台形なので 台形ペケポン面積比を使う 正三角形 ABT ＝ ４ とおくと 三角形 QRS ： 正六角形 ABCDEF ＝ ２１×（９/４９） ： ２４ ＝ ９ ：５６  方法３ ２辺の積、隣辺比を使う  三角形 QRS ： 正六角形 ABCDEF ＝ ３×３×（３／７） ： ２×２×６ ＝ ９ ：５６ 答え ９/５６ |
灘中学 入試問題 ２０１６年度 （ 平成２８年度 ）入試 算数１日目 ９番 図形の移動（直角三角形の転がり） 解説のみ 転がる様子を丁寧に書くだけ π計算を間違わないように工夫する ABC ＋１６π×（１／３） ＋ ４π×（１／４） ー ｛ ABC ＋ ４π×（１／３） ＋ ４π×（１／４）｝ ＝（４＋３/４）×π ＝１５．７０ー０．７８５ ＝１４．９１５ 参考） 灘中学 入試問題 ２０１０年度 （ 平成２２年度 ）入試 算数２日目 ４番 これが身についていれば出来たでしょう 答え １４．９１５ |
灘中学 入試問題 ２０１６年度 （ 平成２８年度 ）入試 算数１日目 １０番 平面図形 三角形、四角形の面積 右の図の三角形ABCにおいて、２本の直線ADとBEは点Fで 垂直に交わっています。また （BDの長さ）：（DCの長さ）＝３：２ （ABの長さ）：（CFの長さ）＝３：２ です。このとき、FDの長さはAFの長さの□倍で、 四角形FDCEの面積は三角形ABCの面積の□倍です。  補助線の引き方でいろいろ遊びます 問題文の中に３：２が２つあることから、 何かあやしいなと思うことがまず必要と思います。 後は直角があることから、何を連想するだろうか？ ピラミッド相似かちょうちょ相似じゃないかと気づいて、 普段から補助線を引いて試行錯誤することをしていたらうまくいくかも そうじゃないと、与えられた図だけでぼーっと見ていてもしんどいと思います 前半の解き方です 解き方がたくさんありますね あなたのヒラメキを大事にして頭をひねってみましょう 方法１ 延長して ピラミッド相似にもっていく  方法２ 延長して ピラミッド相似にもっていく  方法３ 延長と平行線を引いて ちょうちょ相似にもっていく  方法４ 延長と平行線を引いて さらに垂線を引く ちょうちょ相似と二等辺三角形の性質を組み合わせる  方法５ 直角を作って相似に気づく  方法６ ほとんど方法５と同じだが直角を作って相似に気づく  方法７ FCをCのほうにFCの長さの半分の長さだけ延長し、 メネラウスの定理を使う すると１：１の辺の比が出現 後は垂線を下ろしてうまくいきます  どんな方法でも AF ： FD ＝ 5：2であることがわかります 後半はやさしいです AE ： EC ＝ ３：２を区切り面積やメネラウスの定理か ベンツ切りなどで求めていけばすぐに求まります  前半が取れた人は後半はサービス問題という感じです 中学受験で合格することを意識すると 前半ができないと後半もおそらく解けないので ２つ分の得点差が開くということになります 答え 順に ２/５ ８/３５ |
灘中学 入試問題 ２０１６年度 （ 平成２８年度 ）入試 算数１日目 １１番 立体の切断 四角すいの体積 立方体 右の図は、１辺の長さが６ｃｍの立方体です。 この立方体を３点A， I， Gを通る平面で切ったとき、 この平面と辺DHは点Jで交わります。 四角すいKーAIGJの体積は□ｃｍ３です。 また、３点B， D， Gを通る平面で 四角すいKーAIGJを２つの立体に分けたとき、 点Kを含む立体の体積は□ｃｍ３です。  前半の問題は四角すいKーAIGJの体積を求めるのですが 底面を四角形AIGJとみると面積も高さもすぐに出ない このタイプは灘の過去問にもありますが、 立体を平面で分割することです。 それを過去問などで意識してきた方は どう切るかはすぐ浮かぶでしょう 方法１ ３点A， K， Gを通る平面で切ってみましょう  三角すい２つになります そのどちらも体積は１８なので １８×２＝３６ 方法２ ３点 I， K， Jを通る平面で切ってみましょう  こちらも 三角すい２つになります そのどちらも体積は１８なので １８×２＝３６ 理由は少し考えれば分かりますね （ヒント AIGJはどんな四角形ですか？） 後半は ３点B， D， Gを通る平面とAKの交点をMとすると  次の図から AM ：MK ＝２ ： １ と分かる  LとNの位置はすぐにわかる 後は四角すいKーMLGNの体積を求めればよい 方法１で前半を求めた方は底面を三角形LGKで、高さは２ｃｍだから 具体的に計算すればよい 少し計算しんどい 工夫してみよう ここでは比をうまく使う方法を紹介しよう 三角すいとAーIGKと三角すいMーLGKを比較して 三角すいとAーIGKは１８とわかっているから 三角すいMーLGKは １８×（３/７）×（１/３） 三角すいMーNGKも同様に １８×（３/５）×（１/３）となる 合わせて １８×（１/７+１/５）＝２１６/３５ 余裕がある人にもう一つ別の解き方を ２０１４年の灘 算数１日目１０番を工夫して解けた方は この問題も同じ手法が使えます  今度は三角すいC-BDGと四角すいKーMLGNを くらべてみよう BGD ： MLGN ＝３５ ： １２ 底面への高さの比が２ ： １ 求める四角すいKーMLGNの体積は ６×６×６×（１/６）×（１２/３５）×（１/２）＝２１６/３５ 違う解き方を研究すると算数がもっと楽しくなりますね 答え 順に ３６ ２１６/３５ |
２０１６年 （ 平成２８年度 ） ２０１６＝２５×３ ２×７ ＝２×２×２×２×２×３×３×７ ＝６３×３２ ＝２１１−２ ５ =１＋２＋３＋４＋５＋・・・・・＋６２＋６３ （１から６３までの連続整数の和） （６３番目の三角数） ２０１６の約数は３６個あります 1 2 3 4 6 7 8 9 12 14 16 18 21 24 28 32 36 42 48 56 63 72 84 96 112 126 144 168 224 252 288 336 504 672 1008 2016 ２の倍数や３の倍数や７の倍数 平成２８年度 ２８＝２×２×７ ２０１６÷２８＝７２ |
２０１６年に関するやっておきたい中学入試予想問題 ・２０１６が分母や分子に入った計算問題 （２や３や７で約分できることに注意） ・２０１６を素因数分解しなさい ・２０１６の約数はいくつありますか ・２０１６の奇数の約数はいくつありますか ・２０１６の偶数の約数はいくつありますか ・２０１６の約数をすべて書きなさい ・２０１６の約数の総和はいくつになりますか ・２０１６の奇数の約数の総和はいくつになりますか ・２０１６の偶数の約数の総和はいくつになりますか ・２０１６の約数の逆数の総和はいくつになりますか ・２０１６を２個以上の連続整数の和で表す方法は何通りありますか ・１/２０１６から２０１５/２０１６までの２０１５個の分数のうち既約分数の個数 ・１/２０１６から２０１５/２０１６までの２０１５個の分数のうち既約分数の総和 ・０，１，２，６を使った数列 ０，１，２，６の数字だけを使ってできる整数を小さい順に並べた数の列 １，２，６，１０，１１，１２，１６，２０，２１，２２，２６，６０，・・・・・・があります。 （１）２０１６は何番目にありますか。 （２）２０１６番目の数は何ですか。 |
灘中学 入試問題 ２０１５年度 （ 平成２７年度 ）入試 算数１日目 １０番 平面図形 ６０度 三角形の面積 長さ  この問題は答えが合ったから、何も研究せずに、 次の問題に進むよというにはもったいない すごく良い問題だと思います 灘中上位合格目指す人や算数オリンピック決勝に進みたい人などは、 是非この１問でたくさん何かをつかんでください。 答えだけ出すのはすぐ出るかもしれませんが、 解き方がたくさんあり、めちゃくちゃ補助線を引く練習になります この１問でたくさんの公式、技、補助線などが学べます。 たくさん学ばないともったいない。損しますよ 問題集のたくさん問題の解き方を意味も分からず覚えるより、 良問を１問深く学ぶ方が数倍力がつくと思います。 何より算数をもっともっと好きになるでしょうね！ 図形に感動するかもしれないし、 上手く補助線が引けて自分のひらめきに感動したりしますよ。 ハマる体験をすると、時間がたつのを忘れるくらい、 没頭する体験が出来るかもしれません（笑） 算数の好きな生徒さんとこの１問を一緒にじっくり考えさせながら、 解き方をすぐに教えるのではなく、 楽しみながら授業をすると３時間あっても足りないと思います 塾で教えてくれる模範解答を覚えるだけより、 算数を通して大事な何かを感じ取れるといいですね。 １問をいろいろな解き方で解くメリットはいっぱいあると思います。 いろんな公式や考え方、工夫などが深まる。 公式などの当てはめ方、使い方がうまくなる。 発想が豊かになる。 なにより、いろいろな解き方を通して、 色々な考え方などが深いところで一つにつながってくる。 頭の中で、言葉で表現できない、 自分の世界観みたいな感覚ができてきます この感覚が得られると、とても気持ちいいですよ。 この３ｃｍと５cmと間の角が１２０度の三角形は、 BDの長さが７ｃｍとなり七五三（しちごさん）三角形と呼ばれています 大学入試のセンター試験にも出てくる図形です 一工夫する方法は 平行線を引く 垂線を引く 延長線を引く 点と点を結ぶ 回転する 裏返す 二等辺三角形を作る 一部を切って、貼りつける 解き方は１０個以上出てくると思います 平行線だけでも、どこに平行線を引くかで３個くらいはすぐに見つかります 回転もどちらに回転させるか、またどの図形を回転させるかでも いろいろ見つかります。 垂線もどの点から引くかでいろいろ見つかります 学べる公式や分野としては、隣辺比、面積比と線分比、相似 正三角形、二等辺三角形、３０度問題、角の二等分線, 面積比と相似比、面積比と線分比 など大事なものばかりですね 授業で解説を聞いて理解できるのと、 自分で補助線を引けて答えまで導けるのとでは大きく違います 自分で解けるようになりたい人は、授業を聞くことも大事ですが、 自分ひとりで考える時間も作ってください。 熱中する体験ができれば、学びがどんどん加速していくと思います。 最近の灘中の過去問にも、よく似たテーマが出まくっています。 でも、どの問題も、与えられた図と長さや角度の情報だけでは、 解けないようにできており、 一工夫して自分の持っている知識に結びつける必要があるから、 補助線を引くときに、どうしてその補助線を引くのか？ 引くメリットは何かを深めていかないと、 いざ試験の時にはすぐに使えるようにはなりませんよ 答え 順に ６．１２５ ３０．６２５ 参考） 灘中学 入試問題 ２０１３年度 （ 平成２５年度 ）入試 算数１日目 １１番 平行線を自分で引くことができれば、解決できます 参考） 灘中学 入試問題 ２０１２年度 （ 平成２４年度 ）入試 算数１日目 ９番 延長線を自分で図に引くことができれば、解決できます 参考） 灘中学 入試問題 ２０１１年度 （ 平成２３年度 ）入試 算数１日目 １１番 点と点を結んで、平行に気づけば、解決できます |
灘中学 入試問題 ２０１５年度 （ 平成２７年度 ）入試 算数１日目 １１番 展開図 立体の体積 三角すいの体積  展開図を組み立てて六角形の面に垂直な平面で 真二つに切って考える １辺の長さが４cmの正三角形を底面とし、 高さが４cmである三角すいの体積を １とした時、 組み立てられた立体の体積は （１＋２＋２）×２＝１０ 別解 高さ平均の公式を使う １/３ ： （（１＋２＋２）／３）×２＝１：１０ 答え １０ 参考） 灘中学 入試問題 ２００４年度 （ 平成１６年度 ）入試 算数１日目 １１番 これを深く理解していれば、２０１５年の１１番は解ききれると思います 参考）洛南高校附属中学 入試問題 ２０１５年度 算数 ８番 （１）（２）（３）（４） これも立方体の１／６倍や１／３倍を使うとすぐ解けます （１） ３×３×３×（１／６）×２＝９ （２）３×３×３×（１／６）×（２＋２）＝１８ （３） ３×３×３×（１／３）×（１＋２＋１）＝３６ （４） ３×３×３×（１／３）×２×２×２＝７２ |
灘中学 入試問題 ２０１５年度 （ 平成２７年度 ）入試 算数２日目 ５番 立体の切断 解説のみ （１） １／３６＋４／３６＝５/３６ （２）１６／３６ー３/３６＝１３／３６ （３） ｐを通る平面で切った時 切り落とされる立体の体積は １/６＋８/６＝９／６ Rを通る平面で切った時 切り落とされる立体の体積は １２５／６ー（６−１／６）＝９０／６ 切り落とされる立体の体積の差を考えると、 ９０／６ー９／６＝８１／６＝２７/２＝１３．５ 別解１ ｐを通る平面とRを通る平面の間の体積を求め、 実際にはない立体の体積を引く方法 （１２５／６ー２７／６）ー（２×１．５ー１／６）＝８１/６＝１３．５ 別解２ 元の立体の体積２１６からどれだけ切り落とされているかを比べると、 ｐを通る平面で切った時 ６＋１/６＋８/６＝４５／６ Rを通る平面で切った時 １２５／６＋１/６＝１２６／６ １２６／６ー４５／６＝８１／６＝１３．５ 答え （１） ５/３６ （２） １３／３６ （３） １３．５ 何と何を比べるかを考えると、いろいろな方法で楽しめます |
２０１５年 （ 平成２７年度 ） ２０１５＝５×１３×３１ １３の倍数や３１の倍数 平成２７年度 ２７＝３×３×３ |
灘中学 入試問題 ２０１３年度 （ 平成２５年度 ）入試 算数１日目 １番 計算問題  ２０１３＝３×１１×６１ １８３＝３×６１ ６７１＝１１×６１ 答え ３ ２００９年の１番と見比べると、おもしろいです 灘中学入試問題 ２００９年（平成２１年）算数１日目１番
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灘中学 入試問題 ２０１１年度 （ 平成２３年度 ）入試 算数１日目 ２番 １１の倍数である５桁の整数で、 各位の数字がどの２つも異なっているもののうち、 最も大きいものは □ です。 答え ９８７３６ |
灘中学 入試問題 ２０１１年度 （ 平成２３年度 ）入試 算数１日目 ３番 ２つの商品甲、乙があり、利益はそれぞれ原価の１２％、２２％で、 甲、乙ともに、原価も利益も１円未満の端数はありません。 また、甲を１つ売ったときと乙を１つ売ったときの利益は同じです。 甲の原価として考えられる金額のうち、最も安いのは □ 円です。 答え ２７５ |
灘中学 入試問題 ２０１０年度 （ 平成２２年度 ）入試 算数１日目 ４番 ３６００本の鉛筆を同じ本数のいくつかの束に分けます。 □ 本ずつの束に分けた場合と比べると、 １束の鉛筆を３本ずつ減らした場合の方が、束の数は６０だけ増えます。 答え １５ |
灘中学 入試問題 ２０１０年度 （ 平成２２年度 ）入試 算数１日目 ２番 N君の家は０．５ヘクタールの田んぼを所有し、いねを育てています。 その家の田んぼでは、１年間で１０アールにつき０．５トンの米がとれ、 N君の家はその米を１０ｋｇあたり４０００円で売っています。 利益はそのうち１２％であるとすると、N君の家が、 とれた米をすべて売ることで１年間に得る利益は □ 万円です。 答え １２ |
灘中学 入試問題 ２０１０年度 （ 平成２２年度 ）入試 算数１日目 ５番 ６けたの整数ＡＢＣＤＥＦで、 一番上の位の数字Ａを一番下の位に移した数ＢＣＤＥＦＡが もとの数の３倍になるものは、ちょうど２つあります。 このような数ＡＢＣＤＥＦのうち大きい方をＸとすると、Ｘ＝□ です。 また、 Ｘ / ９９９９９９ をできる限り約分した分数は □ です。 答え 順に ２８５７１４ ２／７ |
灘中学 入試問題 ２０１０年度 （ 平成２２年度 ）入試 算数１日目 ８番 １１で割ると小数第２位が３になり、 １３で割ると小数第１位が６になる整数を考えます。 このうち最も小さいものは □ で、 ２番目に小さいものとの差は □ です。 答え 順に ７３ ６６ |
灘中学入試問題 ２００８年（平成２０年）算数１日目２番
灘中学入試問題 ２００８年（平成２０年）算数１日目３番
灘中学入試問題 ２００７年（平成１９年）算数１日目３番
灘中学入試問題 ２００７年（平成１９年）算数１日目４番
灘中学入試問題 ２００７年（平成１９年）算数１日目７番
灘中学入試問題 ２００６年（平成１８年）算数１日目２番
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２０２２＝３３７×２×３ ３３７は素数です ３３７は素数です 奇素数３３７は２つの平方数の和で表される |
２０２３年度中学受験予定の方へ ２０２３＝７×１７×１７ ２０２３は素数ではありません ７や１７や１１９や２８９などの倍数です ２０００から２１００までの素数は ２００３，２０１１，２０１７，２０２７，２０２９， ２０３９，２０５３，２０６３，２０６９，２０８１， ２０８３，２０８７，２０８９，２０９９の１４個あります
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